Inégalités de Clarkson

En mathématiques, les inégalités de Clarkson, portant le nom de James A. Clarkson, sont des résultats concernants les espaces ${\displaystyle L^{p}}$. Elles permettent, pour deux fonctions dans ${\displaystyle L^{p}}$, de majorer la norme de leur somme et de leur différence par les normes de ces fonctions.

Elles servent à démontrer que l'espace ${\displaystyle L^{p}}$ est ${\displaystyle p}$-uniformément convexe lorsque ${\displaystyle 2\leq p<\infty }$.

Énoncé

Soit ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ un espace mesurable, et soit ${\displaystyle f,g\in L^{p}(X)}$. Alors, pour ${\displaystyle 2\leq p< \infty }$,

${\displaystyle \left\|{\frac {f g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{p} \left\|{\frac {f-g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{p}\leq {\frac {1}{2}}\left(\|f\|_{L^{p}}^{p} \|g\|_{L^{p}}^{p}\right).}$

Et pour ${\displaystyle 1$,

${\displaystyle \left\|{\frac {f g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{q} \left\|{\frac {f-g}{2}}\right\|_{L^{p}}^{q}\leq \left({\frac {1}{2}}\|f\|_{L^{p}}^{p} {\frac {1}{2}}\|g\|_{L^{p}}^{p}\right)^{\frac {q}{p}},}$

où

${\displaystyle {\frac {1}{p}} {\frac {1}{q}}=1}$.

Le cas ${\displaystyle p\geq 2}$ est le plus simple à prouver : c'est une application de l'inégalité triangulaire et de la convexité de

${\displaystyle x\mapsto x^{p}.}$

Généralisations

Des extensions aux valeurs complexes ont été obtenus pour tous ${\displaystyle 0$ (Maligranda 2007),

${\displaystyle \left(\left\|f g\right\|_{L^{q}}^{q} \left\|f-g\right\|_{L^{q}}^{q}\right)^{\frac {1}{q}}\leq C_{p,q}\left(\left\|f\right\|_{L^{p}}^{p} \left\|g\right\|_{L^{p}}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}.}$

avec

${\displaystyle C_{p,q}=\max(2^{1-{\frac {1}{p}}},2^{\frac {1}{q}},2^{{\frac {1}{q}}-{\frac {1}{p}} {\frac {1}{2}}}).}$

Voir aussi

• Identité du parallélogramme

Références

• James A. Clarkson, Uniformly convex spaces, vol. 40, 1936, 396–414 p. (DOI 10.2307/1989630 , JSTOR 1989630, MR 1501880).
• Olof Hanner, On the uniform convexity of L^p and ℓ^p, vol. 3, 1956, 239–244 p. (DOI 10.1007/BF02589410 , Bibcode 1956ArM.....3..239H, MR 0077087).
• K. O. Friedrichs, On Clarkson's inequalities, vol. 23, 1970, 603–607 p. (DOI 10.1002/cpa.3160230405, MR 0264372).
• Lech Maligranda et Natalia Sabourova, « On Clarkson's inequality in the real case », Mathematische Nachrichten, vol. 280, n^o 12,‎ 2007, p. 1363 - 1375 (DOI 10.1002/mana.200610552).

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